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关于初中的二次函数的问题!

发布网友 发布时间:2022-04-22 17:55

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热心网友 时间:2023-10-08 10:01

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
考点扫描
1.会用描点法画出二次函数的图象.
2.能利用图象或配方法确定抛物线的开口方向及对称轴、顶点的位置.
3.会根据已知图象上三个点的坐标求出二次函数的解析式.
名师精讲
1.二次函数y=ax2,y=a(x-h)2,y=a(x-h)2+k,y=ax2+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表:
解析式 y=ax2 y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c
顶点坐标 (0,0) (h,0) (h,k) ( )

对 称 轴 x=0 x=h x=h x=

当h>0时,y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象;
因此,研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象提供了方便.
2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x= ,顶点坐标是( ).
3.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,当x≤ 时,y随x的增大而减小;当x≥ 时,y随x的增大而增大.若a<0,当x≤ 时,y随x的增大而增大;当x≥ 时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b2-4ac>0,图象与x轴交于两点A(x1,0)和B(x2,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x2-x1|= .
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0.
5.抛物线y=ax2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= 时,y最小(大)值= .
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:
y=ax2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
中考典例
1.(北京西城区)抛物线y=x2-2x+1的对称轴是( )
(A)直线x=1 (B)直线x=-1 (C)直线x=2 (D)直线x=-2
考点:二次函数y=ax2+bx+c的对称轴.
评析:因为抛物线y=ax2+bx+c的对称轴方程是:y=- ,将已知抛物线中的a=1,b=-2代入,求得x=1,故选项A正确.
另一种方法:可将抛物线配方为y=a(x-h)2+k的形式,对称轴为x=h,已知抛物线可配方为y=(x-1)2,所以对称轴x=1,应选A.
2.( 北京东城区)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: .
考点:二次函数y=ax2+bx+c的求法
评析:设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2),且设x1<x2,则其图象与y轴两交点分别是A(x1,0),B(x2,0),与y轴交点坐标是(0,ax1x2).
∵抛物线对称轴是直线x=4,

∴x2-4=4 - x1即:x1+ x2=8 ①
∵S△ABC=3,∴ (x2- x1)•|a x1 x2|= 3,

即:x2- x1= ②
①②两式相加减,可得:x2=4+ ,x1=4-
∵x1,x2是整数,ax1x2也是整数,∴ax1x2是3的约数,共可取值为:±1,±3。
当ax1x2=±1时,x2=7,x1=1,a=±
当ax1x2=±3时,x2=5,x1=3,a=±
因此,所求解析式为:y=± (x-7)(x-1)或y=± (x-5)(x-3)
即:y= x2- x+1 或y=- x2+ x-1 或y= x2- x+3 或y=- x2+ x-3
说明:本题中,只要填出一个解析式即可,也可用猜测验证法。例如:猜测与x轴交点为A(5,0),B(3,0)。再由题设条件求出a,看C是否整数。若是,则猜测得以验证,填上即可。
5.( 河北省)如图13-28所示,二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,则△ABC的面积为( )
A、6 B、4 C、3 D、1
考点:二次函数y=ax2+bx+c的图象及性质的运用。
评析:由函数图象可知C点坐标为(0,3),再由x2-4x+3=0可得x1=1,x2=3所以A、B两点之间的距离为2。那么△ABC的面积为3,故应选C。
图13-28
6.( 安徽省)心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:分)之间满足函数关系:y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30)。y值越大,表示接受能力越强。
(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步降低?
(2)第10分时,学生的接受能力是什么?
(3)第几分时,学生的接受能力最强?
考点:二次函数y=ax2+bx+c的性质。
评析:将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为:y=-0.1(x-13)2+59.9,根据抛物线的性质可知开口向下,当x≤13时,y随x的增大而增大,当x>13时,y随x的增大而减小。而该函数自变量的范围为:0≤x≤30,所以两个范围应为0≤x≤13;13≤x≤30。将x=10代入,求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。解题过程如下:
解:(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以,当0≤x≤13时,学生的接受能力逐步增强。
当13<x≤30时,学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时,y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分时,学生的接受能力为59。
(3)x=13时,y取得最大值,
所以,在第13分时,学生的接受能力最强。
9.( 河北省)某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品.据市场分析,若按每千克50元销售,一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克.针对这种水产品的销售情况,请解答以下问题:
(1)当销售单价定为每千克55元时,计算月销售量和月销售利润;
(2)设销售单价为每千克x元,月销售利润为y元,求y与x的函数关系式(不必写出x的取值范围);
(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下,使得月销售利润达到8000元,销售单价应定为多少?
解:(1)当销售单价定为每千克55元时,月销售量为:500–(55–50)×10=450(千克),所以月销售利润为
:(55–40)×450=6750(元).
(2)当销售单价定为每千克x元时,月销售量为:[500–(x–50)×10]千克而每千克的销售利润是:(x–40)元,所以月销售利润为:
y=(x–40)[500–(x–50)×10]=(x–40)(1000–10x)=–10x2+1400x–40000(元),
∴y与x的函数解析式为:y =–10x2+1400x–40000.
(3)要使月销售利润达到8000元,即y=8000,∴–10x2+1400x–40000=8000,
即:x2–140x+4800=0,
解得:x1=60,x2=80.
当销售单价定为每千克60元时,月销售量为:500–(60–50)×10=400(千克),月销售成本为:
40×400=16000(元);
当销售单价定为每千克80元时,月销售量为:500–(80–50)×10=200(千克),月销售单价成本为:
40×200=8000(元);
由于8000<10000<16000,而月销售成本不能超过10000元,所以销售单价应定为每千克80元.
参考资料:大脑

热心网友 时间:2023-10-08 10:01

令二次函数的解析式:
y=k(x-m)(x-n)

函数与x轴的交点为x1=m,x2=n.设m<n.
与y轴交点为yo=kmn

对称轴x=4→m+n=8......(1)

面积为3→(n-m)|kmn|=6......(2)

由于|kmn|为整数,由(2)式知(n-m)可取得值有1,2,3,6

于是令n-m=t......(3)

解(1)和(3)得
m=4-t/2 , n=4+t/2
由于m,n都为整数,则t必为偶数.又t可取的值有1,2,3,6
进一步筛选后t可能的取值有:2,6

因而得到m,n的两组值:
3,5
1,7
将三组值分别代入(2)得到对应的两组k值:
±1/5
±1/7

于是附合条件的解析式共有4个:
y=±(x-3)(x-5)/5
y=±(x-1)(x-7)/7
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