模拟题(三)
一、选 择
1. 设XA=3.141是真值XT=π的近似值,则XA有__A__位有效数字。 A、3 B、4 C、5 D、6
2. 用毫米刻度的直尺测量一长度为x*的物体,测得其长度的近似值为x = 25mm,其误差上限为 C mm。
A、0.5102 B、0.5101 C、0.5 D、5 3. 设x=37.134678,取5位有效数字,x__C__。
A、 37.1347 B、 37.13468 C、 37.135 D、 37.13467 4. 数值x*的近似值为x,那么按定义x的绝对误差是__B_。
xx*A、x*B、x*xC、xx*x*x D、x*23x111x0,进行第
4105. 用列主元高斯消去法解线性方程组5230.11x32二次列主元选择时所选取的列主元为 C 。 A、5 B、4 C、-2.5 D、-3
6. 用选列主元的方法解线性方程组AX=b,是为了 C 。 A、提高计算速度 B、简化计算步骤 C、降低舍入误差 D、方便计算
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7. 以下方程求根的数值计算方法中,其迭代格式为
xk1xkf(xk)(xkxk1)的是: D 。
f(xk)f(xk1)A、二分法 B、简单迭代法 C、牛顿迭代法 D、割线法 8. 牛顿迭代法是用曲线f(x)上点的 D 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)=0的解。
A、弧线 B、折线 C、割线 D、切线
9. 设b>a,在区间a,b上的插值型求积公式其系数为A0,A1,┅,An,则
A0A1┅+An=__C__。
A、3(b-a) B、4(b-a) C、b-a D、b2-a2 10. 通过__B__个点来构造多项式的插值问题称为线性插值。 A、1 B、2 C、3 D、4
422进行LU三角分解,则l 11. 用紧凑格式对矩阵A222222312D 。
A、 2 B、 -2 C、-1 D、1 12. 用于求解I(f)baf(x)dx的求积公式
baab[f(a)4f()f(b)]是 B 。 62第 2 页 (共 8 页)
A、梯形公式 B、辛卜生公式 C、柯特斯公式 D、复化辛卜生公式
13. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续,若满足 C ,则方程f(x)=0在区间[a,b]内一定有实根。
A、f(a)+f(b)<0 B、f(a)+f(b)>0 C、f(a)f(b)<0 D、f(a)f(b)>0 14. 以下公式中是正确的改进欧拉公式的是:_D__。
ypykhf(xk1,yk)ypykhf(xk,yk)A、 ycykhf(xk,yp) B、ycykhf(xk,yp)
1yk1(ypyc)yk(ypyc)2ypykhf(xk,yk)ypykhf(xk,yk)C、ycykhf(xk,yp) D、ycykhf(xk,yp)
hyk(ypyc)yk(ypyc)二、
计 算
31. 用割线法求方程xx10在x = 1.5附近的根,取x0=1.5,x1=1.4,
最终结果保留5位有效数字。(8分)
解:取初值x0 = 1.5,x1 = 1.4,割线法的迭代格式为:
xk1xk3(xkxk1)(xkxk1)33(xkxk1)(xk1xk11)
按上式计算得:
x2 = 1.33522 x3 = 1.32541 x4 = 1.32472
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x5 = 1.32472
取x* 1.3247。
2. 为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根,把方程改写成下列
形式,并建立(1)-(4)共4个迭代公式,请依据定理判断各迭代公式的收敛性(10分)
(1) x,迭代公式:xkxxk
(2) x,迭代公式:x kxxk 解: 在(1)中
x21111,(x),(x)1.0758283/23/2x12(x1)2(1.61)x1根据定理2.2,该迭代公式发散。
在(2)中x,(x),x).;
xxx. 又当x[1.3,1.6]时,(x)1根据定理2.1,该迭代公式收敛。
1[1.5917, 1.3906][1.3,1.6],2xxxx3. 用高斯消去法解线性方程组xxx 。(8分)
xxx解
:
41412141r2r1(3/2)2121r00.555.5r00.555.53r1(1/2)3r2(3)[Ab]3214124101.520.5001717
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于是有同解方程组
2x1x24x310.5x25x35.5 17x317
回代得解
x3=-1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X=(1,1,-1)T。
4. 用已知函数表
x
0 1 2 1 2 5 fx 求二次插值多项式,并求f()的近似值。(8分) 解:作差商表:
12
xi 0 1 2 yi 1 2 5 一阶差商 1 3 2二阶差商 1 N2x1x0x0x1x1 fN2
121251.25 4第 5 页 (共 8 页)
xxx5. 用雅可比迭代法求解线性方程组xxx(8分)
xxx(1)写出雅可比迭代法迭代格式。(4分) (2)取X(0)T(000),求解方程组。(4分)
解 (1)对i1,2,3,从第i个方程解出xi,得雅可比迭代法迭代格式为
(k1)(k)(k)x12x22x31(k1)(k)(k)x1x33(k=0,1,2,3,…) x2(k1)(k)(k)x2x2x5312
ii.
第1次迭代,k=0
X(0)=0,得到X(1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k=1
(2)x1232515(2) x2 1533(2)x3212353X(2)=(5,-3,-3)T
第3次迭代,k=2
(3)x12(3)2(3)11(3) x2 5(3)31(2)x3252(3)51X(3)=(1,1,1)T
第4次迭代,k=3
(2)x1212111(2) x2 1131(2)x3212151 X(4)=(1,1,1)T
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故原线性方程组的解为X=(1,1,1)T。
1sinxsinx6. 求f(x)在0,1上的积分 Idx , 已知
0xxsinx x f(x)
x -------------------------------------- 0 1
18 0.9973978 28 0.9896158 38 0.9767267 48 0.9588510 58 0.9361556
68 0.9088516 78 0.8771925 1 0.8414709 ------------------------------------------
1)根据上述数据,写出复化梯形公式T8的表达式并给出计算结果。 2)由上述数据,写出复化辛卜生公式S4的表达式并给出计算结果。(8分)
解:1)
IT818[12(0.99739780.98961580.97672670.958851020.93615560.90885160.8771925)0.8414709]0.9456911 2)
IS414[14(0.99739780.97672670.93615560.8771925)62(0.98961580.95885100.9088516)0.8414709]0.9460832第 7 页 (共 8 页)
试确定求积公式
f(x)dxf()f()的代数精度。(8分)
解:当f(x)取1,x,x2,…时,计算求积公式何时精确成立。
(1) 取f(x)=1,有 左边=
f(x)dxdx,
右边=f(
)f()
(2) 取f(x)=x,有 左边=
f(x)dxdx,
右边=f(
)f()
(3) 取f(x)=x2,有 左边=
f(x)dxxdx, )() 右边=f()f()( (4) 取f(x)=x3,有 左边=
f(x)dxxdx,
右边=f(
)f()()()
(5) 取f(x)=x4,有 左边=
f(x)dxxdx, )() 右边=f(
)f()(当k3求积公式精确成立,而x4公式不成立,可见该求积公式具
有3次代数。
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