计算方法模拟题3

模拟题（三）

一、选 择

1. 设XA=3.141是真值XT=π的近似值，则XA有__A__位有效数字。 A、3 B、4 C、5 D、6

2. 用毫米刻度的直尺测量一长度为x*的物体，测得其长度的近似值为x = 25mm，其误差上限为 C mm。

A、0.5102 B、0.5101 C、0.5 D、5 3. 设x=37.134678,取5位有效数字，x__C__。

A、 37.1347 B、 37.13468 C、 37.135 D、 37.13467 4. 数值x*的近似值为x，那么按定义x的绝对误差是__B_。

xx*A、x*B、x*xC、xx*x*x D、x*23x111x0，进行第

4105. 用列主元高斯消去法解线性方程组5230.11x32二次列主元选择时所选取的列主元为 C 。 A、5 B、4 C、-2.5 D、-3

6. 用选列主元的方法解线性方程组AX＝b，是为了 C 。 A、提高计算速度 B、简化计算步骤 C、降低舍入误差 D、方便计算

第 1 页 （共 8 页）

7. 以下方程求根的数值计算方法中，其迭代格式为

xk1xkf(xk)(xkxk1)的是： D 。

f(xk)f(xk1)A、二分法 B、简单迭代法 C、牛顿迭代法 D、割线法 8. 牛顿迭代法是用曲线f(x)上点的 D 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解。

A、弧线 B、折线 C、割线 D、切线

9. 设b>a，在区间a,b上的插值型求积公式其系数为A0,A1,┅,An，则

A0A1┅＋An＝__C__。

A、3(b-a) B、4(b-a) C、b-a D、b2-a2 10. 通过__B__个点来构造多项式的插值问题称为线性插值。 A、1 B、2 C、3 D、4

422进行LU三角分解，则l 11. 用紧凑格式对矩阵A222222312D 。

A、 2 B、 -2 C、-1 D、1 12. 用于求解I(f)baf(x)dx的求积公式

baab[f(a)4f()f(b)]是 B 。 62第 2 页 （共 8 页）

A、梯形公式 B、辛卜生公式 C、柯特斯公式 D、复化辛卜生公式

13. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足 C ，则方程f(x)=0在区间[a,b]内一定有实根。

A、f(a)+f(b)<0 B、f(a)＋f(b)>0 C、f(a)f(b)<0 D、f(a)f(b)>0 14. 以下公式中是正确的改进欧拉公式的是：_D__。

ypykhf(xk1,yk)ypykhf(xk,yk)A、 ycykhf(xk,yp) B、ycykhf(xk,yp)

1yk1(ypyc)yk(ypyc)2ypykhf(xk,yk)ypykhf(xk,yk)C、ycykhf(xk,yp) D、ycykhf(xk,yp)

hyk(ypyc)yk(ypyc)二、

计 算

31. 用割线法求方程xx10在x = 1.5附近的根，取x0=1.5,x1=1.4，

最终结果保留5位有效数字。（8分）

解：取初值x0 = 1.5，x1 = 1.4，割线法的迭代格式为：

xk1xk3(xkxk1)(xkxk1)33(xkxk1)(xk1xk11)

按上式计算得：

x2 = 1.33522 x3 = 1.32541 x4 = 1.32472

第 3 页 （共 8 页）

x5 = 1.32472

取x*  1.3247。

2. 为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列

形式，并建立(1)-(4)共4个迭代公式，请依据定理判断各迭代公式的收敛性（10分）

(1) x,迭代公式:xkxxk

(2) x,迭代公式:x kxxk 解： 在(1)中

x21111,(x),(x)1.0758283/23/2x12(x1)2(1.61)x1根据定理2.2，该迭代公式发散。

在(2)中x,(x),x).；

xxx. 又当x[1.3,1.6]时，(x)1根据定理2.1，该迭代公式收敛。

1[1.5917, 1.3906][1.3,1.6]，2xxxx3. 用高斯消去法解线性方程组xxx 。（8分）

xxx解

：

41412141r2r1(3/2)2121r00.555.5r00.555.53r1(1/2)3r2(3)[Ab]3214124101.520.5001717

第 4 页 （共 8 页）

于是有同解方程组

2x1x24x310.5x25x35.5 17x317

回代得解

x3=－1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T。

4. 用已知函数表

x

0 1 2 1 2 5 fx 求二次插值多项式，并求f()的近似值。（8分） 解：作差商表：

12

xi 0 1 2 yi 1 2 5 一阶差商 1 3 2二阶差商 1 N2x1x0x0x1x1 fN2

121251.25 4第 5 页 （共 8 页）

xxx5. 用雅可比迭代法求解线性方程组xxx（8分）

xxx（1）写出雅可比迭代法迭代格式。（4分） （2）取X（0）T（000），求解方程组。（4分）

解 （1）对i1,2,3，从第i个方程解出xi，得雅可比迭代法迭代格式为

(k1)(k)(k)x12x22x31(k1)(k)(k)x1x33(k=0,1,2,3,…) x2(k1)(k)(k)x2x2x5312

ii.

第1次迭代,k=0

X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k=1

(2)x1232515(2) x2 1533(2)x3212353X(2)＝(5,－3,－3)T

第3次迭代，k=2

(3)x12(3)2(3)11(3) x2 5(3)31(2)x3252(3)51X(3)＝(1,1,1)T

第4次迭代，k=3

(2)x1212111(2) x2 1131(2)x3212151 X(4)＝(1,1,1)T

第 6 页 （共 8 页）

故原线性方程组的解为X＝(1,1,1)T。

1sinxsinx6. 求f(x)在0,1上的积分 Idx , 已知

0xxsinx x f(x)

x -------------------------------------- 0 1

18 0.9973978 28 0.9896158 38 0.9767267 48 0.9588510 58 0.9361556

68 0.9088516 78 0.8771925 1 0.8414709 ------------------------------------------

1）根据上述数据，写出复化梯形公式T8的表达式并给出计算结果。 2）由上述数据，写出复化辛卜生公式S4的表达式并给出计算结果。（8分）

解：1）

IT818[12(0.99739780.98961580.97672670.958851020.93615560.90885160.8771925)0.8414709]0.9456911 2）

IS414[14(0.99739780.97672670.93615560.8771925)62(0.98961580.95885100.9088516)0.8414709]0.9460832第 7 页 （共 8 页）

试确定求积公式

f(x)dxf()f()的代数精度。（8分）

解：当f(x)取1,x,x2,…时，计算求积公式何时精确成立。

(1) 取f(x)=1,有 左边＝

f(x)dxdx,

右边＝f(

)f()

(2) 取f(x)=x,有 左边＝

f(x)dxdx,

右边＝f(

)f()

(3) 取f(x)=x2,有 左边=

f(x)dxxdx, )() 右边=f()f()( (4) 取f(x)=x3,有 左边=

f(x)dxxdx,

右边=f(

)f()()()

(5) 取f(x)=x4,有 左边=

f(x)dxxdx, )() 右边=f(

)f()(当k3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具

有3次代数。

第 8 页 （共 8 页）