第一讲：相似三角形——比例线段

第一课时

一．放缩与相似 1. 相似形的概念

一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形叫做相似形。 2. 相似形的特征 (1) 相似三角形的特征

∠A' =∠A ; ∠B'=∠B; ∠C' =∠C A1B1A1C1B1C1=K ABACBC(2) 相似多边形的特征

推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。 【典型例题】

1. 如果一张地图的比例尺为1:3000000，在地图上量得大连到长春的距离为25cm，那么长春到大连的实际距离为 千米。 【同类变式】

2. 在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得∆ABC的三边：AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际∆A'B'C'的周长是多少米？

3. 某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm，两地的实际距离是多少？如果在该地图上A地（正方形场地）面积是3cm2,问该地实际面积是_________ 4. 下列说法正确的有（ ）个

（1）有一个角是100的等腰三角形相似 （2）有一个角是80的等腰三角形相似 （3）所有的等腰直角三角形相似 （4）所有的正六边形都相似 （5）所有的矩形都相似 （6）所有的正方形都相似 A．2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

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oo5. 一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。

【同类变式】

6. E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB=1。求矩形ABCD的面积。

7. 在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m此时身高是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。

8. 把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？

二．比例线段

(1) 线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b或

a。 b(2) 比例线段：在四条线段a b c d中，其中两条线段a, b的比等于两条线段c,d的比, 即

ac，那个这四条线段叫做比例线段。其中，a b c d叫做成比例的项。 bd(3) 比例外项，比例内项，第四比例项

(4) 比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b=b:c,那么线段b叫做线段的比例中项。 ★比例的性质 (1) 比例的基本性质

ac ad=bc (运用等式的基本性质) bd特别地，a:b=b:c，那么b2=ac,反之亦然 (2) 合比,分比性质

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如果

acabcdabcbd，那么bd(两种证明方法)，bdd (3) 等比性质 如果

a1ba2bk，那么a1a2=a1ba2k 12b1b21b2推论a1a2a3...anbb=a1=a2=...=an=k

1b23...bnb1b2bn注意 b1+b2+b3+...+bn≠0 (4) 反比性质 如果

abcbdd，那么ac (5) 更比性质 如果

abcd，那么acbd（交换内项）或dbca（交换外项） 【典型例题】

1. (1) 已知a, b, c, d是成比例线段，其中a=3,b=2,c=6,求d的大小

(2) 已知线段a, b, c其中一条线段是另两条线段的比例中项，且a=3,b=6,求c的大小

2. 已知2x3y0,则3xyx2y

3. 已知

a3b4c5,abc24,求a2bc 4. 若互不相等的四条线段的长a,b,c,d满足acbd，m是任意实数，则各正确的（ A．amcmbmdm B. abcdacadabcdbc C. cd D. abcd 5. bdf4b2d4face3，若a2c4e0,则a2c4e 6. 已知x, y, z三个不同的正数，且yxyxxzzy。求x: y

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）

7.已知

ADAE，AD=15，AB=40，AC=28，求AE的长度。 DBEC

8. 已知

AEBEAEBEAEED.求证：(1);(2) ADBCEDECBEEC

第二课时

三．黄金分割

★黄金分割：当AP:AB=

5-1≈0.618，我们称之为黄金分割。 2注：(1) 黄金分割数

5-1不是一条线段的长。它指的是一条线段被点P黄金分割所分成的2两条线段中较长的线段比上原线段的比值。

(2) 条件AP>PB,AP:AB=

5-1是在这个前提下才能成立 2(3) 黄金分割清晰定义：线段上一点把它分成两条线段，其中较长线段是较短线段与原线段的比例中项，这种分割叫做黄金分割。

1. (1) 已知线段AB=10cm，点C是AB的黄金分割点，且AC>BC,求线段AC和BC的长。

(2) 乐器上的一根弦AB=80cm,两个端点A,B固定在乐器面上，支撑点C是靠近点B的黄 金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点。求CD的长。

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【同类变式】

2. 已知线段AB的长为4cm，P是线段AB的黄金分割点，则线段BP的长是多少？

3. 已知：C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC.D是AB延长线上一点，BD线段AD的黄金分割点。求证：AC=BD

4. 有以下命题：①如果线段d是a,b,c的第四比例项；则有

ac②如果点C是线段ABbd的中点，那么AC是AB、BC的比例中项，③如果C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC那么AC是AB与BC的比例中项；④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，且AB=2，则AC=51。其中判断正确的是 。 5. 在矩形ABCD中截取正方形ABMN，已知MN是BC和CM的比例中项，CM=

3－5，求AD的长。

四．同高的两个三角形的面积比等于对应底边的比 1. 如图，已知SADE9,SCDE6,SBDC10. 求证：

ADAE DBEC

2. 已知，梯形ABCD中,AD∥BC，SDOC4,SBOC8,分别求出△AOB, △AOD面积并

分别求出

DOAO和的值。 BOOC

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3. 在△ABC中，AD=1，DC=2，AB=4，点E是AB上一点，且△DEC的面积等于△ABC的面积的一半，求线段EB的长。

3. 梯形ABCD中，BC∥AD，BC=3AD, 点E在AB边上，且

SAE1,求BEC

SAECDBE4

4. 已知在△ABC中，点E为AB的中点，做平行四边形BCDE，由点C向AB,DE上作垂

线CF,CG，垂足分别是点F,G。求证

BCAE CFCG

5. △ABC的面积为1，D是边AB上一点，且形DECB的面积为

AD1，若在边AC上取一点E，使四边AB33CE，求的值。 4EA

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作业：

一、 填空题

1.如果线段a=3，b=12，那么线段a、b的比例中项x=___________。

2、线段a=2cm，b=3cm，c=1cm， 那么a、b、c的第四比例项d=____ 。 3.在x∶6= (5 +x)∶2 中的x= ；2∶3 = ( 5-x)∶x中的x= . 4.若xyz, 则 xyz______.

1089yz5.若a∶3 =b∶4 =c∶5 , 且a+b-c=6, 则a= ，b= ，c= . 6.已知x∶y∶z= 3∶4∶5 , 且x+y+z=12, 那么x= ，y= ，

z= . 7.若ace3, 则ace______.

bdf4bdf8.已知x∶4 =y∶5 = z∶6 , 则 ①x∶y∶z = , ② (x+y)∶(y+z)= . 9.若x2y2, 则x_____.

y3y10.图纸上画出的某个零件的长是32 mm，如果比例尺是 1∶20，这个零件的实际长是 .

11.如图，已知 AB∶DB = AC∶EC，AD = 15 cm , AB = 40 cm , AAC = 28 cm , 则 AE = ；

D12.已知，线段a= 2 cm，c(23)cm，则线段a、c的比例

中项b是 . (第11题图) 二、选择题

1.已知一矩形的长a=1.35m，宽b=60cm，则a∶b的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4 2.下列线段能成比例线段的是（ ）

(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm

3.如果线段a=4，b=16，c=8，那么a、b、c的第四比例项d为（ ） (A)8 (B)16 (C)24 (D)32

a2ab4.已知，则的值为（ ）

b3b3453(A) (B) (C) (D)

35235.已知x∶y∶z=1∶2∶3，且2x+y-3z= -15，则x的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3

6.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm，它的 实际长度约为（ ）(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km

7.某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是 1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（ ） (A)12米 (B)11米 (C)10米 (D)9米

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EBC

8.已知点C是AB的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm，则AC的长为（ ） (A)(25 –2)cm (B)(6-25 )cm (C)(5 –1)cm (D)(3-5 )cm ADAE

9.若D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的点，且AB =AC ，那么下列各式中正确的是（ ） ADDEABAEDBABADAE(A)DB =BC (B)AD =AC (C)EC =AC (D)DB =AC

a2bb2cc2a，且a+b+c≠0，则k的值为（ ） cab11(A)-1 (B) (C)1 (D)-

2210.若k三、解答题 1.已知

2.已知

abbcca0，求x+y+z的值. xyzx3xyz2x3y4zyz (2). 0，求下列各式的值：(1)

y5x3yz57

3.已知a、b、c为ΔABC的三边，且a+b+c=60cm，a∶b∶c=3∶4∶5， 求ΔABC的面积.

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